Soal Teori Peluang

 soal 1
Dalam suatu kantong terdapat 2 bola putih dan 6 bola merah. Diambil suatu bola secara acak dan bola yang terambil warnanya dicatat. Setelah itu dikembalikan ke kantong dan kemudian diambil lagi satu bola secara acak. Peluang terambilnya dua bola berlainan warna adalah . . . .           

Jawab

P(2 bola beda warna )    =  P(putih dan merah)  +  P(merah dan putih)

                                      =    (2/8)(6/8) + (6/8)(2/8) = 3/22

Soal 2 

Sutu huruf diambil secara acak masing – masing dari kata “ START ” dan “ STICK “. Peluang terambilnya dua huruf yang berbeda adalah . . . .

Jawab

                P(dua huruf sama)          = (1/5)(1/5) + (2/5)(1/5) = 3/25

                Peluang terambilnya dua huruf beda adalah

                P(dua huruf beda )          = 1-(3/25) = 22/25 

sumber : soal kompetisi matematika tingkat SMA di jakarta dan buku mahir olompiade matematika SMA Yohanes S. Raditya Panji, S.Si 

                

contoh soal gaya coulomb

soal :
perhatikan gambar berikut.

misalnya terdapat 2 buah paritkel yang masing masing memiliki muatan positif, yaitu partikel A dan partikel B, kemufdian terdapat lagi partikel C yang terletak diantara partikel A dan partikel B. Diketahu partikel C adalah partikel bermuatan negatif dengan jumlah muatan -0.1 coulomb, kemudian dietahui juga bahwa jarak antara partikel A dan partikel C adalah 0.2 meter sedangkan jarak partikel C dan partikel B adalah 0.1 meter. Berapakah gaya resultan yang terjadi pada partikel C(diketahu ketiga partikel terletak dalam satu garis lurus).

penyelesaian :

Karena partikel A dan partkel C muatannya berlawanan tanda maka partikel A dan partikel C saling tarik menarik, begitu pula dengan artikel B dan partikel C. Gaya yang berkerja pada partikel C akibat partikel A arahnya kesebelah kiri sedangkan gaya yang bekerja pada partikal C yang diakibatkan pertikel B arahnya kesebelah kanan. 

gaya akibat partikel A :

Fa = - 9 x 109  x 0.5 x 0.1 / (0.1)2 = -1.125 x 1010 newton (negatif karena arahnya kekiri)

gaya akibat partikel B : 

Fb = 9 x 109  x 0.2 x 0.1 / (0.1)2 = 1.8 x 1010 newton  (positf karena arahnya kekanan)

sehingga gaya totalnya : 

F = Fa + Fb = 6.75 x 109 newton. (arahnya kekanan karena positif). 

Pembuktian Kuadrat Bilangan Ganjil adalah Ganjil serta Kuadrat Bilangan Genap adalah Genap

Bilangan ganjil adalah bilangan yang tidak habis apabila dibagi dengan angka 2, sebaliknya angka genap merupakan kelipatan angka dua, maka semua angka genap habis dibagi dua.

• Jika N adalah bilangan ganjil maka N² adalah bilangan ganjil

Bukti :

Bilangan ganjil adalah bilangan yang dapat di represenrasikan sebagai berikut : misal N adalah bilangan ganjil maka N = 2k + 1 dimana k adalah bilangan bulat sembarang. Kemudian apa bila N kita kuadratkan maka akan mendapatkan N² = (2k+1)2  = 4k2 + 4k +1 = 2(2k2  + 2k) + 1, misalkan (2k2  +2k) = m dimana m adalah bilangan bulat sembarang dikarenakan k merupakan bilangan bulat sehingga N2 = 2m+1, sehingga dapat dilihat bahwa N2 adalah  bilangan ganjil, maka pernyataan terbukti benar

• Jika N adalah bilangan genap maka N² adalah bilangan genap

Bukti : 

Bilangan genap merupakan bilangan kelipatan dua sehingga dapat dinyatakan sebagai berikut N = 2k dimana k adalah bilangan bulat sembarang. Kemudian apabila N kita kuadratkan maka akan memperoleh hasil sebagai berikut : N2 = (2k)2 = 4k2 =2(2k2), misalkan (2k2) = m dimana m adalah bilangan bulat sembarang dikarenakan k bilangan bulat sembarang sehingga N2 = 2m yang merupakan kelipatan dua atau selalu habis dibagi dua, dengan kata lain N2 adalah bilangan genap sehingga pernyataan terbukti.

Pembuktian akar 2 Adalah Bilangan Irasional (√2 is irational number)

Bilangan rasional adalah suatu bilangan yang dapat dinyatakan dalam bentuk p/q, dimana p dan q adalah bilangan bulat dan q harus tidak sama dengan nol. Pada postingan kali ini akan dibahas pembuktian bahwa  akar 2  adalah bilangan irasional. Bilangan irasional itu sendiri adalah lawan dari bilangan rasional, sehingga bilangan irasional tidak dapat dinyatakan dalam bentuk p/q. untuk membuktikan bahwa √2 adalah bilangan rasional, kita akan menggunakan metode kontradiksi. Namun sebelum membuktikananya kita akan membahas tentang faktorisasi bilangan prima penyusun suatu bilangan. 

Faktorisasi bilangan prima penyusun suatu bilangan adalah apabila ada suatu bilangan bulat n maka bilangan n tersebut dapat dinyatakan oleh perkalian antar bilangan prima dimana bilangan prima tersebut adalah faktor-faktor dari bilangan n tersebut. Perhatikan contoh berikut. 

1.     25 dapat kita nyatakan sebagai 25 = 5 x 5.

2.     15  dapat kita nyatakan sebagai 15 = 3 x 5.

3.     8 dapat kita nyatakan sebagai 8 = 2 x 2 x 2.

perhatikan contoh diatas bahwa jumlah bilangan prima untuk menghasilkan 25 ada 2 buah, pada 15 ada 2 buah bilangan prima dan terakhir pada 8 ada 3 buah bilangan prima. Nah apa bila bilangan - bilangan tersebut jika kita kuadratkan makan banyaknya bilangan prima yang menyusun angka tersebut sudah pasti sebanyak 2 kali banyaknya bilangan prima penyusun bilangan yang bersangkutan. perhatikan contoh berikut.

1    5² = 625 = 5x5x5x5 (4 bilangan prima yang terlibat dimana 4 adalah genap)

2   25² = 225 = 3x5x3x5 (4 bilangan prima yang terlibat dimana 4 adalah genap)

3    8² = 64 = 2x2x2x2x2x2 (6 bilangan prima yang terlibat dimana 6 adalah genap)

Kesimpulannya adalah jika suatu bilangan n di kuadratkan maka banyaknya bilangan prima yang terlibat dalam perkalian itu adalah sebanyak 2 kali banyak bilangan prima yang terlibat pada n, sehingga banyaknya bilangan primanya adalah sudah pasti genap seperti contoh diatas.

kembali ke pembuktian √2 bilangan irasional. Pertama kita asumsikan bahwa √2 adalah bilangan rasional benar. Selanjutnya akan dibuktikan hawa pernyataan tersebut salah. Karena asumsi √2 adalah rasional maka √2 dapat nyatakan dalam bentuk p/q atau :

2 = p²/q² ,  maka :   p² = 2q²  . Nah karena ruas kiri adalah bilangan kuadrat maka banyak biangan prima penyusunya sudah pasti genap sedangkan untuk q²  juga bilangan kuadra sehingga banyaknya bilangan primanya juga genap. tetapi untuk p² sama dengan 2q² sehingga banyaknya angka prima penyusun p² adalah sama dengan banyaknya bilangan prima penyusun  q² dan juga angka 2, sehingga karena banyaknya penyusun q² adalah  genap ditambah dengan satu bilangan 2 maka banyaknya bilangan priman penyusun  p² (angka genap ditambah satu pasti jadi ganjil) menjadi ganjil sehingga ini bertentangan dengan teori sebelumnya yang menyatakan bahwa banyaknya bilangan prima penyusun suatu bilangan kurdrat tidak pernah ganjil. Sehingga disimpulkan tidak ada bilangan p dan q yang memenuhi p/q sehingga asumsi salah dan diterima bahwa √2 adalah bilangan irasional.  Selain pembuktian diatas ada lagi pembuktian secara geometri dan pembuktian bahwa pembagian bersama p dan q hanya 1, tetapi itu tidak dibahas disini. Bukti diatas juga bisa dikembangkann untuk akar 3 akar 5 dan sebagainya.

Matematika

created by LUTHFI RACHMAN

Knapsack Problem dan Algoritma Genetika

Knapsack problem adalah permasalah untuk memilih n barang dari N barang yang tersedia dimana n barang tadi akan dimasukan kedalam sebuah kantong. Namun terdapat masalah dimana kekuatan kantong untuk menahan beban terbatas kekuatannya. Sehingga n barang yang terpilih harus memiliki berat maksimum namun masih bisa menahan berat dari n benda yang terpilih tadi.

sumber : vi.wikipidia.org

Untuk menyelesaikan masalah ini diperlukan sebuah metode atau algoritma untuk mencari n barang dengan berat maksimum yang dapat ditempuh tersebut. misalnya kita memiliki 10 barang dimana akan diambil beberapa barang untuk dimasukkan kedalam kantong, kita akan menggunakan algoritma genetika. Individu didifinisikan sebagai daftar barang-barang yang dimasukan kedalam kantong, misalnya diantaranya adalah (1000010000) dan (1110000001) dimana 1 dinyatakan barang masuk kedalam kantong dan 0 tidak dimasukan sehingg untuk individu petama hanya barang 1 dan 6 yang masuk sedangkan untuk individu kedua hanya barang 1,2,3 dan 10 yang akan masuk. masing-masing individu akan dihitung nilai fitnessnya dimana fungsinya menyatakan selisih antara kapasitas maksimum kantong dikurangi berat benda-benda yang akan dimasukan. Fungsi dinyatakan maksimum jika mendekati 0 dan tidak negatif. Semua individu akan di crossoverkan dan dimutasikan sehingga misalnya sampai pada generasi ke 10 maka didapat sebuah solusi optimal dengan individu terpilih (1111000011) dimana hanya barang 1,2,3,4,9 dan 10 yang hanya dimasukan.

Algoritma Genetika (genetic algorithm) dan TSP problem

Algoritma genetik adalah suatu metode yang baru ditemukan pada abad ke 20. Algoritma genetika ditemukan oleh john holland prinsip dari algoritma genetika terinspirasi dari proses seleksi alam seperti teori yang di kemukakan oleh Darwin. Dalam algoritma genetika juga dapat disebut sebagai metode pencarian yang pararel. konsep dari algoritma genetika adalah penyeleksi individu - individu dimana tiap-tiap individu mewakili sebuah solusi dari permasalahan yang diberikan. Dalam algoritma genetika terdapat dua operator utama yaitu, crossover dan  mutasi. 

Salah satu permasalahan yang dapat diselesaikan oleh algoritma genetika adalah masalah travelling salesmen problem (TSP problem). Inti dari masalah TSP ini adalah untuk menemukan rute tercepat untuk menelusuri beberapa kota dimana satu kota hanya dikunjungi satu kali.

Gambar diatas digambarkan ada 4 kota yang saling terhubung, maka akan dicari susunan kota yang akan dikunjungi dengan harapan dapat meminimumkan jarak yang ditempuh.

Pada gambar 2 akan dicari jarak terpendek dari 8 kota. kita akan generate individu-individu yang akan jadi kandidat solusi dimana tiap2 kormosom berisi gen dengan susunan kota yang akan dikunjungi, misal didifinisikan funsi fetness adalah jumlah jarak yang ditempuh dari kunjungan 8 kota. salah satu conoh kromosom adalah sebaai berikut (1,2,4,3,5,6,8,7). kita akan melakukan crossover dan mutasi namun kalau melakukan crossover biasa kita akan kesulitan karena dapat menghilangkan kunjungan kesalah satu kota dan ada kota yang di kunjungi lebih dari sekali. Solusinya kita akan melakukan order crossover. langkahnya sebagai berikut.

parent 1 : (1 2 | 3 5 4 7| 6 8)

parent 2 : (2 3 | 1 4 5 6 |7 8)

kemudian O1 nya : (- - | 3547|--)

dan O2 nya (--|1456|--)

kemudian susunan q nya 78231456 kemudian eliminasi 3 5 4 7 sehingga tersisa 8216 sehingga :

O1 : (16354782 )

dengan cara serupa untuk O2 didapat : ( 37145682)  

sehingga dengan melakukan crossover dan mutasi selama beberapa generasi akan dihasilkan solusi terbaik misalnya setelah generasi ke tujuh didapat susunan 61253478 misalnya dengan jarak minimum 20 km.