Bilangan rasional adalah suatu bilangan yang dapat dinyatakan dalam bentuk p/q, dimana p dan q adalah bilangan bulat dan q harus tidak sama dengan nol. Pada postingan kali ini akan dibahas pembuktian bahwa akar 2 adalah bilangan irasional. Bilangan irasional itu sendiri adalah lawan dari bilangan rasional, sehingga bilangan irasional tidak dapat dinyatakan dalam bentuk p/q. untuk membuktikan bahwa √2 adalah bilangan rasional, kita akan menggunakan metode kontradiksi. Namun sebelum membuktikananya kita akan membahas tentang faktorisasi bilangan prima penyusun suatu bilangan.
Faktorisasi bilangan prima penyusun suatu bilangan adalah apabila ada suatu bilangan bulat n maka bilangan n tersebut dapat dinyatakan oleh perkalian antar bilangan prima dimana bilangan prima tersebut adalah faktor-faktor dari bilangan n tersebut. Perhatikan contoh berikut.
1. 25 dapat kita nyatakan sebagai 25 = 5 x 5.
2. 15 dapat kita nyatakan sebagai 15 = 3 x 5.
3. 8 dapat kita nyatakan sebagai 8 = 2 x 2 x 2.
perhatikan contoh diatas bahwa jumlah bilangan prima untuk menghasilkan 25 ada 2 buah, pada 15 ada 2 buah bilangan prima dan terakhir pada 8 ada 3 buah bilangan prima. Nah apa bila bilangan - bilangan tersebut jika kita kuadratkan makan banyaknya bilangan prima yang menyusun angka tersebut sudah pasti sebanyak 2 kali banyaknya bilangan prima penyusun bilangan yang bersangkutan. perhatikan contoh berikut.
1 52 = 625 = 5x5x5x5 (4 bilangan prima yang terlibat dimana 4 adalah genap)
2 252 = 225 = 3x5x3x5 (4 bilangan prima yang terlibat dimana 4 adalah genap)
3 82 = 64 = 2x2x2x2x2x2 (6 bilangan prima yang terlibat dimana 6 adalah genap)
Kesimpulannya adalah jika suatu bilangan n di kuadratkan maka banyaknya bilangan prima yang terlibat dalam perkalian itu adalah sebanyak 2 kali banyak bilangan prima yang terlibat pada n, sehingga banyaknya bilangan primanya adalah sudah pasti genap seperti contoh diatas.
kembali ke pembuktian √2 bilangan irasional. Pertama kita asumsikan bahwa √2 adalah bilangan rasional benar. Selanjutnya akan dibuktikan hawa pernyataan tersebut salah. Karena asumsi √2 adalah rasional maka √2 dapat nyatakan dalam bentuk p/q atau :
2 = p2/q2 , maka : p2 = 2q2 . Nah karena ruas kiri adalah bilangan kuadrat maka banyak biangan prima penyusunya sudah pasti genap sedangkan untuk q2 juga bilangan kuadra sehingga banyaknya bilangan primanya juga genap. tetapi untuk p2 sama dengan 2q2 sehingga banyaknya angka prima penyusun p2 adalah sama dengan banyaknya bilangan prima penyusun q2 dan juga angka 2, sehingga karena banyaknya penyusun q2 adalah genap ditambah dengan satu bilangan 2 maka banyaknya bilangan priman penyusun p2 (angka genap ditambah satu pasti jadi ganjil) menjadi ganjil sehingga ini bertentangan dengan teori sebelumnya yang menyatakan bahwa banyaknya bilangan prima penyusun suatu bilangan kurdrat tidak pernah ganjil. Sehingga disimpulkan tidak ada bilangan p dan q yang memenuhi p/q sehingga asumsi salah dan diterima bahwa √2 adalah bilangan irasional. Selain pembuktian diatas ada lagi pembuktian secara geometri dan pembuktian bahwa pembagian bersama p dan q hanya 1, tetapi itu tidak dibahas disini. Bukti diatas juga bisa dikembangkann untuk akar 3 akar 5 dan sebagainya.
Tidak ada komentar:
Posting Komentar